9.4. СИНТЕЗ КВАДРАТУРНЫХ УСТРОЙСТВ ПО ИХ РАБОЧИМ ПАРАМЕТРАМ

Для построения квадратурного устройства необходимо и достаточно в соответствии с теоремами 2.1 и 2.2 синтезировать любой из дуальных четырехполюсников А+ или Д- с равными нагрузками, а затем их совместить в единую цепь согласно рис. 2.4 или, как на рис. 9.15 и рис. 9.16, с помощью поэлементных связей. При этом можно с любым наперед заданным приближением обеспечить при расчете постоянство коэффициента деления для произвольного конечного значения а. Это достигается выбором аппроксимирующей функции надлежащей степени для четырехполюсника А+ или А и, в конечном счете, соответствующим числом элементов. На этапе реализации имеется определенная свобода выбора, т. е. схемного решения. В целом использование развитых методов синтеза четырехполюсников по их рабочим параметрам (ч. I, [19]) позволяет наилучшим образом удовлетворить условиям конкретных задач.

На первом этапе решения отыскивается аппроксимирующая функция рабочего коэффициента передачи мощности любого из дуальных четырехполюсников А+ или А . По условиям физической реализуемости эта функция должна быть действительной, четной, рациональной и удовлетворять соотношению О < G (Q) < 1 при любом значении Q на интервале Q = [О, оо].

Ее можно представить в виде G (й^) = i -f (QyN (Q), где М (Q2) и (Q) - четные полиномы с действительными коэффициентами, неотрицательные на указанном выше интервале переменной Q. 1 *

Применительно к синтезу рассматриваемых схем без потерь следует полагать, что четырехполюсники А+ и А~, нагруженные с обеих сторон на равные нагрузки, также не содержат потерь. В этом случае функция 6 (Q) общего вида, распространенная на плоскость комплексного частотного переменного р, связана соотношением (9.11) с коэффициентом отражения для любого из четырехполюсников А+и А . Будем считать, что в рабочем диапазоне частот отклонение коэффициента деления т от номинального значения т = должно быть минимальным при выбранной сложности схемы. При этом условии функцию G {-р^) удобно записать в виде, аналогичном виду (9.12):

G-1 (-p)lp=/Q =\+moF (p)F (-/?) р=/й = 1 -f л7оР (Й), где аппроксимирующая функция

f(Q) =-Ш

(9.16)

qv П (q-q,)

имеет полином P{Q) в числителе. Частным случаем функции (9.16) будет нечетный полином

Р,п-1 (Й) = ajQ + asQ + a,Q + ... + a, ,Q-\ (9.17)

Поскольку дуальные четырехполюсники А+ и А~ имеют одинаковый коэффициент передачи мощности, функция G (О. ) является одним из коэффициентов передачи устройства (например, I з! - согласно рис. 2.4), называемым часто коэффициентом передачи прямой волны. Так как синтезируемые схемы без потерь являются согласованными и развязанными, то функция 1 - G (Q), т. е. квадрат модуля коэффициента отражения на входе каждого из четырехполюсников А+ и А , есть второй коэффициент передачи, называемый часто коэффициентом передачи отраженной волны ( р в соответствии с рис. 2.4). Их отношение, например т = \Зи\У\isl есть коэффициент деления мощности. На частотах, где т = /По, имеем I 5i3 Г = (1 + то)-\ а I Г = о (1 + mo)- Наибольшее отклонение функции \F {Q,)\ от единицы в рабочей полосе частот, обозначаемое б, просто связано с наибольшим отклонением коэффициента деления Am зависимостью Am/mo = б (2 + б) 26.

Для функции F (Q) ограничимся случаем

FiQ) =

(9.18)

где V = 1, 3, 2/г - 1.

Эта функция реализуется симметричной квазиполиномиальной цепью, которая содержит, как минимум, 2/г реактивных элементов. Из них {2п - v) индуктивных элементов в продольных ветвях и емкостных элементов в поперечных (в сумме), v индуктивных в поперечных ветвях и емкостных в продольных. Наибольшие значения а достигаются при v = 2/г - 1.

Для квазиполиномиальных цепей по значениям nav также просто находятся их структуры (см. ч. I, [16], [19] ), что позволяет перед расчетом образовать дуальную цепь и предопределить схему в целом. При численном расчете коэффициенты полинома Р (Q) или функции F (Q) находятся в соответствии с тем или иным критерием приближения к идеальной характеристике, например максимально плоским или чебышевским (рис. 9.17). Наиболее простое решение будет при максимально плоском приближении.

Полагая, что при Q = 1 имеем т. = Шо, составим систему п линейных алгебраических уравнений, первое из которых определяется значением функции (или полинома) при Q = 1, а/г- 1 остальных находятся из равенства нулю первых (п-1) производных при = 1, т. е.

/= 1

f(i)(l) = o,

f(2) (1)=0,

Я -1)(1)=0.

(9.19)

Так, например, в случае полинома (9.17) при и = 3 получИМ систб' му трех уравнений:

Ol + Оз + 5 = 1,

Й! + Зйз + баз = О, баз + 20а5 = О,

решение которой дает

Таблица 9.1

8 4 8

(9.20)

Аналогичным образом просто получить, что для /г = 4 и /г = 5 соответственно

315 128

Из рис. 9.17 видно, что если при четных п полиномы Р (Q) можно умножить на величину (1 + 6/2), то получим меньшее Ат/тд.

Используя (9.18) и (9.19), можно определить и аппроксимирующие функции, в частности, (й) = (1/2) (1 + QQ и F (й) = = (1/8) (-1 + + 3Q*)/Q. Они дают расширенную полосу частот (рис. 9.18), но их реализация в устройстве весьма ограничена в сравнении с полиномами. Некоторые результаты полиномиальной чебышевской аппроксимации [105] приведены в табл. 9.1.

Рассмотрим теперь кратко задачу реализации, состоящую в построении сначала четырехполюсника А+ или А~ по найденной аппроксимирующей функции, а затем всей схемы квадратурного устройства. Первая часть этой задачи решается по хорошо разработанной методике реализации четырехполюсников без потерь (см. ч. I, [19]), включающей следующие этапы.

Ян,чев. Онип.

Рис. 9.Т7. Аппроксимирующий полином P(Q) степени 2п-1 для четных п в случаях: максимально плоского (/) и чебы-шевского (2) приближений

Рис. 9.18. Зависимости б = =/(а) при полиномиальной чебышевской аппроксимации функции коэффициента деления мощности

1. Осуществляется переход к функции (9.16) путем подстановки в аппроксимирующую функцию аргумента Q = p/j и образование рабочего коэффициента передачи:

G i-p) = G {p)G i-p) = [1 - mof ip) = - [1 - КmoF (p) ]-4l + Vm,F (p) УК

Здесь F (p) -- нечетный полином от p, образованный из (9.16), т. е. р2п-1 (Р) = aiP - йзр^ + ajr - а^р' + .... или нечетная функция, представляющая собой отношение четного полинома степени Ъг к (V = 1, 3, 5, 2/г - 1), т. е. F (р) = Р^п {р)1р^ = =-- {а,-а.,р^ + а,р^- ...)1р^.

2. Образуется функция 5 {p)S{-p) = 1 - G {p)G (-р), т. е.

-&- +Р| 1 (Р)

при аппроксимирующем полиноме (9.17) и

[Р2п-1{Р)-Ь-Ц [Pn-i (Р)+Ь-Ц

(9.21)

S(/7)5(-p) =

1Р2п(Р)~Ь- р'][Р,п {Р)+Ь-Р']

при аппроксимирующей функции (9.18).

(9.22)

3. Находятся корни знаменателя в (9.21) или (9.22), для чего достаточно определить корни любого из его сомножителей; корни другого отличаются только знаком.

4. Из 2/г - 1 (или 2/г) корней знаменателя, расположенных в левой /7-полуплоскости, образуется .чолином Гурвица V (р) с коэффициентом при старшей степени р, равным единице, а затем составляется выражение для коэффициента отражения 5 (р) = = ±Р {p)/V (р), где Р (р) - любой из полиномов Р^п (р) или Pin-i (Р) с коэффициентом при старшей степени р, приведенным к единице; выбор знака определяет одну из двух дуальных цепей.

5. Составляется дробно-рациональная функция входного сопротивления искомой цепи с единичными (нормированными) нагрузками zip) = [l-S{p) ]/[1 + 5 (/?)].

6. Эта функция реализуется известными методами (см. ч. I, [19]), что приводит к полипомиальной цепи при полиноме (9.17) и к квазиполиномиальной цепи при функции (9.18).

7. Образуется дуальная цепь.

Теперь рассмотрим упомянутый вначале параграфа этап совмещения дуальных четырехполюсников с помощью поэлементных связей. Начнем с простого примера.

Пример. Используя полином (9.20), реализуем цепь А~ (рис. 9.19, а) и образуем дуальную цепь (рис. 9.19, б). Для совмещения этих цепей выделим сначала элемент С' = Ci/2 = 0,379/2 = = 0,19, присутствующий только в цепи А~. Затем совместим индуктивности Li = 0,379 и = 0,252, выделив две равные индуктивности L( с коэффициентом связи ki в соответствии с выражениями: Li = Ll) (1 +i), L2 = L* (1 - ki), откуда получаем

кг = (Li - L2)/ (А + i2) 0,2,

0,315.

Ьт = 1/2 (Li + La)

(9.23)

Рис. 9.19. Дуальные полиномиальные цепи (а, б) и соответствующая схема НО (в); элементы в скобках соответствуют симметричной реализации

Затем совмещаем емкости Сз == 0,252 и Сз = 1,75, подключив с каждого плеча на общую шину емкость Сз = 0,252, а между плечами емкость С(2 = (Сз - С2)/2 ж 0,75.

Пользуясь далее соотношениями типа (9.23), выделим индуктивности L() ?к 1 с коэффициентом связи 3 ж 0,75. Продолжая таким же образом и далее, получим в результате схему рис. 9.19, в с элементами, указанными без скобок.

Можно осуществить также симметричную схему, для чего следует начинать реализацию одинаково с обеих сторон и в результате потребуется также одна пара индуктивностей с полной связью. Это положение сохраняется и при большом числе звеньев, когда п является нечетным.

В общем случае симметричной реализации при нечетном п (рис. 9.20) индуктивные элементы нормированной схемы (рис. 9.20, б) определяются соотношениями:

LW (1 ± к.) = L т (1 + /гз) = L3, ... L( -) (1 + А: -2) = = L 2, L( ) = L /2; Ld) (1 =F k) = L3, L(3) (1 + k) = .= L4, ...,L -(l=FA: -a) = L, i.

Для рассматриваемых схем обычно подходят верхние знаки, что более удобно и для реализации. Емкостные элементы находятся из соотношений: Cl) = Ci/2, С( ) = (Сз - С2)/2, = (С5 - С4)/2, С( -2) = (С„ 2 - С„ з)/2, С( ) = (0,5С„ - C i)/2. Из них следует, что поскольку нормированные элементы дуальных схем связаны соотношениями Са = La, С4 = L4, C i = L i, то необходимыми и достаточными условиями реализуемости схемы

-j-fy -j-f; -j-gj

Рис. 9.20. Полиномиальный четырехполюсник А- при нечетном п (а) и соответствующие схемы ПО: б - симметричная, в - несимметричная для любого п